Une matrice carrée \(A\in\mathcal M_n(\Bbb R)\) est dite inversiblelorsqu'il existe une matrice carrée \(B\in\mathcal M_n(\Bbb R)\) tq \(AB=BA=I_n\)
Dans ce cas, \(B\) est unique est on note \(B=A^{-1}\)
On dit que \(B\) est la matrice inverse de \(A\)
(Produit matriciel, Matrice inverse)
Ensemble
Notation
L'ensemble des matrices inversibles est noté \(\mathcal G\ell_n(\Bbb K)\)
Caractérisation d'une matrice inversible :
Soit \(A\in\mathcal M_n(\Bbb R)\) et \(X\in\mathcal M_{n,1}(\Bbb R)\)
On peut montrer que \(A\) est inversible si et seulement si l'équation en \(X\), \(AX=0\) admet \(X=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}\) pour unique solution
(Ecriture matricielle d'un système)
Déterminant inversible dans les anneaux
Remarque :
Une matrice \(M\in\mathcal M_n({\Bbb Z})\) est inversible dans \(\mathcal M_n({\Bbb Z})\) si et seulement si \(\operatorname{det} M=\pm1\)
Remarque :
De manière générale, $${{G\ell_n(\mathcal A)}}=\{M\in\mathcal M_n(\mathcal A)\mid{{\operatorname{det} M\in\mathcal A^\times}}\}$$
(Anneau (Groupe des inversibles))
Comment inverser une matrice ?
Vérification
Méthode de calcul pratique d'inverse d'une matrice :
Si \(AB=I_n\), alors \(A\) et \(B\) sont inversibles et inverses l'une de l'autre
Formule pour les matrices 2x2
\(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) est inversible si et seulement si \(ad-bc\neq0\) et dans ce cas, $$A^{-1}={{\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix} }}$$
(Déterminant)
Matrices diagonales et triangulaires
Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n'est nul
De plus, $$D=\begin{pmatrix}d_1&0&\dots&0\\ 0&d_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&d_n\end{pmatrix}\implies D^{-1}={{\begin{pmatrix}\frac1{d_1}&0&\dots&0\\ 0&\frac1{d_2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&\frac1{d_n}\end{pmatrix} }}$$
(Matrice diagonale, Matrice triangulaire)
Propriétés des matrices inversibles
Soient \(A\), \(B\), \(C\) des matrices
Si \(A\) est inversible, alors $$AB=AC\implies {{B=C}}$$
